小学生に何かを説明すると、中には「何でー?どうしてー?」を連発する子がいる。そんな子には、ある程度説明したら「後は自分で考えなさい。」と言うことにしている。「分からないんだー?大人なのに知らないのかな?」などと挑発されても相手にしてはいけない。

なぜなら、そのタイプの小学生だった私は、他人の説明で「へー、そうなんだ。」などと素直に納得したことはなく、年がら年中疑問で満ち溢れている頭は一つの説明が次の疑問を生むだけでちっとも解決にならないことを知っているからだ。

それでもその時の説明は随分後になって突然「ストン」と憑き物が落ちたように納得のツボへ収まることもある。だから、全然説明しないのもよろしくない、と昔の問題児である私は思っている。

[魔方陣の中に入る数字を全部書き出して、どれとどれがセットになるか考えた]

魔方陣というものを知った小学生の時、3×3のタイプは真ん中の数字が常に5になることに私は納得しなかった。色々な数字を当てはめてみて、それでも5以外が入らないことを受け入れるのが嫌だった。

そして、腹を立ててやってみたのがこの方法だ。もし身の回りに何でも理由を聞きたがる小学生がいたら、少しは自分で考えなさい、と言う前にこの方法を試してみると良い。

構われたかっただけなら途中でもういいよ、というはずだし、疑問を解きたいと思っているなら、とことん付き合ってやるのにちょうどいいしつこさの解き方だ。

まず、3×3のマスの中に入る9つの数字をばらばらに書き、それを適当に当てはめてみる。もうここで合計が合わないことに気が付いた。そうだ。魔方陣はどの列も合計が同じになるはずだ。

1から9までの合計が45になるということと、45を三個に分けたら一つは15、というのは知っていた。だからまず、1をいくつも書いた。1なら一番小さいから、あと2個足して15になる数字が一番多いはずだ。もちろんここで一番大きい9からやった方が、早く終わるなどということは思いつかなかった。

出典ライデン

1+2+?=15 これだと?が12になってしまう。使える数字は9までなので、1と2は絶対に組にならないことが分かる。同じ理由で、3と4も使えない。1+3+11=15, 1+4+10=15である。

ここで、1とセットになる数字のうち、小さい方は少なくとも5より大きい数字だということが分かる。では5を足してみよう。1+5+9=15, 1+6+8=15, 1+7+7=15(これは同じ数字だから使えない), 1+8+6=15(これはさっき書いたから外す), 1+9+5….これもさっき書いた。

そして9より上は使えないので、考えなければいけない数字が無くなってしまったことになる。

[この考え方で残るのは1+5+9と1+6+8の二個だけだ]

出典ライデン

では2はどうだろう。2+?+?=15を考えとき、1と2が組にならないように、2と3も組にならないことが分かる。2+3+10=15なので、10を使う3は消えるのだ。つまり、2と組むことができる数字は4より大きくなければならない、ということになる。

2+4+9=15, 2+5+8=15, 2+6+7=15, 2+7+6…は逆にしただけだから同じ。2+8…と2+9…も消える。

[2で残るのは2+4+9と2+5+8、2+6+7の三個だ]

出典ライデン

3は?3+1と3+2はもう済んでいるし、3+3は使えない。だから、使えるのは4からだ。3+4+8=15, 3+5+7=15, 3+6+6..は使えない。3+7と3+8…はもう書いたものと同じだ。3+9+3は使えないから、ここで3は終わりになる。

[3で残ったのは3+4+8, 3+5+7の二つだ]

出典ライデン

4を使う計算は4+5から始まる。その前は済んでいるからだ。4+5+6=15, 4+6+5…は同じだからいらない。4+7+4…はだめ。4+8+3は3の所でもう出ている。4+9+2も2の所で出た。

[つまり4の所で残るのは4+5+6だけ]

出典ライデン

5で考えてみよう。前の計算があるから5+6から始める。5+6+4はさっき4の所で出た。5+7+3…は3で出た。5+8+2は2で出た。5+9+1は1で出た。何ということだろう。5の所では何も残らなかった。

6+7+2..はもう出ている。6+8+1も出ている。6+9は15になってしまうから、もうここで終わり。7+8は二つで15になってしまうからなし。8+9もなし。9+10は無い。ということは。

残ったのを全て集めると

1+5+9 1+6+8

2+4+9 2+5+8 2+6+7

3+4+8 3+5+7

4+5+6

この8個だけになる。そして3×3の魔方陣に入れられるのは縦三列、横三行、そして斜めにバッテンの二列だ。

入る数にぴったりしか残らない。つまり、魔方陣には入るものがすっかり最初から決まっていて、それは変えられないことが分かる。

出典ライデン

そして、結論が出てももちろん私は納得しなかった。そんなはずはない。きっと別のパーツがあるはずだ。それにまだ真ん中問題が残っている。見よ。2を使う式が一番多い。つまり真ん中は2ではないか?

そして、全部確認してがっかりした。三角で書くから2が多いだけで、他の数字も何度も出て来る。

[どうしても真ん中に5を置く理由]

小学生の私に、学校の先生は「入る数字を全部書いてみれば分かる」と言った。全部書き出しても、どうしようもなくて、それでも私は納得しなかった。多分、納得したくなかっただけなのだろう。大人になって、ふと、もう一度全部の組み合わせを書き出してみた時、「あ、先生が言っていたのはこれか?」と思った。

そして、その時には、「何だ。魔方陣の真ん中って5なんだ。」と素直に思った。しかし小学生の私は納得しなかった。猛烈に納得しなかった。そこで残った式の中に使われている数字が、いくつずつ使われているか数えた。

出典ライデン

出典ライデン

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ぱっと見2を使うのが一番多いようだが、これは同じ数字を使う組み合わせを外してあるからで、全部を重ねると5を通る線の数が一番多いのが分かる。

出典ライデン

1…2個 2…3個 3…2個 4…3個 5…4個 6…3個 7…2個 8…3個 9…2個
全部の組み合わせの中で使われている数字の数を数えてもそれは確認できる。真ん中でバッテンになるところには四回、式が通るから(変な表現をご容赦ください)、真ん中は、四つの組み合わせに入っている5しか置けないのだ。

出典ライデン

そして、縦横斜めの3個必要な角には、3個の数字がある2,4,6,8が入り、残りは1,3,7,9が入る。

出典ライデン

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そうすると、なんということだろう。5を挟んで10になる2個の数字、1と9、2と8、3と7、4と6は必ず向かい合わせになるし、角に入る数字は偶数で、角以外の所は奇数になっている。

どうしたらいいのか、本当に魔法のようだと思った。(これは後で魔方陣と魔法陣の違いを知って修正したくなったのだけれど、両方を区別していなかったその時の私には本当に魔法のように思えた。)

そして、魔方陣は魔法の一種で、本棚か何かに封印されていて、だから解決の道はないと思ってしまったのである。
--------なんでだ昔の私!?

だから、きっと。遠い将来になったら理解できるかも知れないので、「何で?どうして?」とうるさい小学生にも、かなり面倒だとは思いますが、一度はきちんと説明してあげようね。お願いします。というお話。

[おまけ画像]

出典ライデン

出典ライデン

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3x3の魔方陣は真ん中が5になる。5をはさんで反対側の2個を足すと10になる。角は偶数。たてよこは奇数。これで、全部解ける。「真ん中5」と「角は偶数」だけ覚えて置こう。

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